Tema Nº 5: Límites



1.- Definición de límite

Sea ƒ una función definida ƒ(x) cuando x tienda a  x0  en un punto (b, 0).



1.1.- Definición:  Se dice que lím f(x) = L, si para cada número positivo ε, por pequeño que este sea, es posible determinar un número positivo δ, tal que para todos los valores de x, diferentes de  b, que satisfacen la desigualdad x- b< δ, se confirmará la desigualdad ƒ(x) - L < ε  (Simmons, 2002). 

Luego, lím f(x) = L  si y solo si para cada ε >0, existe δ > 0, tal que sí 0<x- b< δ, entonces ƒ(x) - L < ε.



En forma gráfica se tiene: 


Para cada e >0            
Existe δ >0  




tal que si  0<x- b< δ  
entonces ƒ(x) - L < ε






Entonces el límite también él lím f(x) = L puede interpretarse de la forma siguiente: como la desigualdad
x- b< δ se deduce que ƒ(x) - L < ε, entonces todos los puntos en la gráfica de la función con ecuación y=f(x), que corresponden a los puntos x que se localizan a una distancia no mayor que δ del punto b, se encontrarán dentro de una franja de ancho 2ε, limitada por las rectas y= L – ε, y= L+ ε, como se muestra en la siguiente figura:




En la gráfica anterior, observamos que todo elemento del entorno reducido del centro x0 y radio δ tiene su imagen, a través  de ƒ, en el entorno centrado en L y radio ε; y no importando que tan pequeño sea el valor de ε, se nota la existencia de un correspondiente δ que garantiza la definición de límite de una función en un punto, todo ello garantizando que el límite de la función ƒ cuando x tiende a x0 es L.



Analizando nos puede decir entonces que la definición del límite dado anteriormente, establece que los valores de la función ƒ(x) se aproximan a un límite L, conforme x se aproxima a un número b, sí el valor absoluto de la diferencia entre ƒ(x) y L  se puede hacer tan pequeña como se quiera tomando x suficientemente cercana a "b", pero no igual a "b"  (Smith et al 2003). 

Daremos ahora algunos ejemplos en los que se utiliza la definición de límite:


1.- Demostrar lím(2x-1) =5
                          x – 3
Sustituyendo: 

ƒ(x)=2x – 1

L = 5

Xo= 3



Nos queda: Hay que probar que dado un ε cualquiera, siempre es posible encontrar un δ, tal que ƒ(x) - L < ε, cuando  0<x- b< δ   es decir: 

(2x-1) - 5< ε  Cuando  0<x- 3< δ 
     
2x - 3< ε  cuando 0<x- 3< δ    
   
x - 3< ε/2  Cuando 0<x- 3< δ      
     
Basta elegir δ= ε/2  para que se cumpla la definición, es decir  ε > 0 se puede hallar δ= ε/2  o cualquier cantidad menor.

Al elegir δ= ε/2  se obtiene que 0<x- 3< δ,

0<2x- 3< 2 ε/2,  donde 0<│2x- 6< ε     
   
Quedando 0<│(2x- 1) - 5< ε       

Esto demuestra que: lím(2x-1) =5
                                     x – 3


2.-  Límites Laterales:


Nos dedicaremos ahora a estudiar la definición de límites laterales.

2.-1.- Definición: La función ƒ definida en algún entorno de x0, tiene límites laterales, llamados: límites lateral por la derecha y límite lateral por la izquierda, cuando: 

1.- Límites laterales por la derecha (LD)

Si dado una ε >0, independiente de que tan pequeño sea, existe un δ >0 tal que: 

ƒ(x) - LD < ε  Siempre que  x0 < x < x0 + δ





Denotamos: lím ƒ(x)= LD
                         x --- x0
2.- Límites laterales por la izquierda (LI)
Si dado una  ε >0, independiente de que tan pequeño sea, existe un δ >0 tal que: 

ƒ(x) – LI < ε    Siempre que  x0 - δ < x < x0. 



Denotamos: lím ƒ(x)= LI
                         x --- x0

Además consideremos la siguiente representación gráfica de una función ƒ, en la que existe una discontinuidad cuando x=a: 

Notemos que cuando x tiende hacia "a " por la derecha de "a " la función tiende a 2, pero cuando x tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1. 

Escribimos x – a+ para indicar que x tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores que "a”

Similarmente x – a- indica que tiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que "a”

Utilizando ahora la notación de límites, escribimos:
lím ƒ(x)= 1      y     lím ƒ(x)= 2         
                         x --- a                             x --- a

Estos límites reciben el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es 1 (Simmons, 2002).




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