Tema Nº 2: Crecientes y Decrecientes

Definición: Si una función f se dice estrictamente creciente en un intervalo I, si para cualquiera x₁, x₂ en I, donde x₁ < x₂ entonces, f(x₁) < f(x₂).

Una función f se dice estrictamente decreciente en un intervalo I si para cualquiera  x₁, x₂ en I, donde x₁ > x₂ entonces, f(x₁) > f(x₂).

Graficando se muestra que: 

 

Teorema: Sea f una función diferenciable en (a,b) y continua en [a,b].

a)             Si f´(x) > 0 para todo x en [a,b] entonces f es creciente en [a,b].

b)            Si f´(x) < 0 para todo x en [a,b] entonces f es decreciente en [a,b].

 

Ejercicio: Encontrar los intervalos donde   f(x)=x³–3x²–9x, donde es creciente o decreciente?

Procedimientos:

1.- Encontrar la primera derivada.

f(x) = x³– 3x² – 9x = f´(x) = 3x²– 6x – 9

Explicación del Profesor:

Los puntos críticos en este caso son donde la primera derivada se anula. 

 

2.- Factorizamos la función derivada.

f´(x) = 3x²– 6x – 9 = 3 (x – 3) (x+1).

Explicación del Profesor:

Estos puntos dividen a la recta real en tres intervalos. (-∞, -1), (-1, 3) y(3, ∞+).

 

3.- Estudios de los signos de la función 

4.- En consecuencia la función es:

Creciente:    (-∞, -1) U (+3, ∞+)

Decreciente: (-1, 3)