Tema Nº 1: Números Reales (R)

Números Reales (R)

Números Reales (Definición): Es el conjunto formado por los números racionales (Q) y los irracionales (I), se llaman el conjunto de los números reales y se representa por la letra R. 

R = Q U I 

Explicación del Profesor: Este concepto tiene origen con la existencia de los números racionales, y es producido con la unión del conjunto de los números racionales y los irracionales. Y este a su vez contiene a los números enteros y los números naturales, con el mismo orden, los números reales contienen a los números irracionales.

Por lo tanto los números reales pueden ser racionales o irracionales, algebraicos o trascendentes, y al mismo tiempo pueden ser positivo, negativos o cero. 

En estos términos puede definirse un número real como: un número positivo o negativo que puede o no tener cifras decimales finito o infinito y puede representarse mediante un punto en la recta de los números reales.

 

  Los números reales están basados en: 

   

    Expresiones decimales limitada

    Expresiones decimales ilimitadas  

a.  Periódicas Puras y Mixtas

b. No periódicas 

Explicación del Profesor: Una expresión decimal de los números reales positivos y negativos, está fundamentada por los números naturales, dicha representación se encuentra definida a la escritura en base 10 usual, para los números racionales, se obtiene una representación decimal limitado o ilimitado, periódico si son números periódicos. Por otro lado, si solo si los números son irracionales entonces encontraremos una representación decimal ilimitado y no periódico. 

Números Racionales (Definición): Es el conjunto formado por los números fraccionarios y enteros obteniéndose por medio de fracciones. Este conjunto está posicionado en la recta real numérica, pero a diferencia de los naturales que son consecutivos.

Propiedades:

1.- La suma de los racionales a/b y c/d se definen como a/b + c/d = (ad + cb)/ bd.

2.- El producto de dos racionales a/b y c/d se definen como ac/bd.

3.- Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y solo si ad=bc.

4.- Un numero racional se dice que esta expresado mediante una fracción irreducible si el numerador y el denomi9nador no tiene factores comunes. 

 Explicación del Profesor: Los números racionales son las fracciones o dos números enteros que se dividen en una fracción (a/b) que son distinto de cero. Además, el conjunto de los números racionales se denota con Q que deriva de cociente, todo número que admite una expansión finita y periódica. 

 Números Irracionales (Definición): Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales aperiódicos.

Explicación del Profesor: Es un número que puede ser expresado como aperiódico, y que poseen infinitas cifras decimales no periódicos y que por lo tanto no pueden ser expresados como fracción. Por ejemplo el número de pi que es: 3,1415926535897932384626433832795, la raíz de 7 que es: 2,645751311064591 y no puede escribirse como una razón. 

Números Naturales (Definición): Es el conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualquiera puede ser siempre comparados entre si usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales, x Є y, o bien x ≤ y, o bien y ≤ x. 

Teoría de Conjuntos  

“Notación de conjuntos”: Se denotan con la letra mayúscula (A, B, C,… Z) Y con la letra minúscula, se denotan los elementos del conjunto (a, b, c,…... z).

R = {x} Pertenece y no pertenece. 

“Si un elemento x pertenece a un conjunto A, se escribe como x Є A caso contrario x ∉ A”.

Tipos de conjuntos: 

1.- Conjunto unitario: Es aquel que está formado por un solo elemento. Ejemplo: D < algo.

2.- Conjunto Vacío: Es aquel que no posee ningún elemento. Ejemplo: sea el conjunto.

A = {x Є Z / x/2 = 3}   A { } 0    A = vacío

3.- Conjunto equivalente: Es cuando dos o más conjuntos son equivalentes si poseen el mismo elemento.

Subconjunto de R (Definición): Se puede definir un subconjunto como un grupo de elementos que conforman el conjunto de los números reales.

A = {1, 2, 6, 8, -1, -2, 0} o sea

B = {x Є L / x es par} 

Por Ejemplo:

Todo número natural es entero, entonces N está contenido en Z, contenido en N

Todo número entero es racional, entonces Z está contenido en Q, Z contenido en Q.

Todo número racional es real, entonces Q está contenido en R, Q contenido en R.

Todo numero irracional es real, entonces I está contenido en R, I contenido en R es igual que R = Q unido en I. 

Propiedades de las operaciones entre conjuntos:

1.- A Ո Փ = Փ

2.- A U Փ = A

3.- A U B U C = (A U B) U C

4.- A Ո B U C = (A U B) Ո C = (A Ո B) Ո C

5.- (A U B) Ո C = A U C U A Ո B   

Leyes de los conjuntos en R:

1.- Ley de la composición interna.

a) La suma (+) en R es cerrada. Esto es, si (a, b) Є R ⁺R.

Entonces a +b = S, S Є R.

b) La multiplicación (.) en R es cerrada, a. b = P, P Є R.

2.- Ley conmutativa.

Suma: a +b = b + a

Multiplicación: a. b = b. a

3.- Ley asociativa

Suma: (a + b) + c = (a + c) + b

Multiplicación: (a. b). c = (a. c). b = (b. c). a

4.- Elemento neutro

Suma: 0 + a = a

Multiplicación: 1.a = a

5.- Elemento opuesto: a Є R] – a Є R

Suma: a + (- a) = 0

Multiplicación: (Elemento inverso)

6.- Distributiva:

(a ± b). c = a.c ± b.c 

Intervalos 

Intervalos (Definición): Los intervalos en R se definen como los intervalos en Q. para expresar los intervalos abiertos es suficiente el signo <, pero para expresar los intervalos cerrados se necesita el signo ≤.

Determinación de intervalos de los conjuntos

1.- Cerrado: Esta cerrado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluidos a y b. 

[a, b] = {x Є R/ a ≤ x ≤ b}

       [ /////////////////// ]          X Є [a, b]

       a                                          b

     i)  Cerrado por la derecha.

  (a, b ] =  {x Є R/ a < x ≤ b}

  (///////////////////// ]           X Є (a, b]

  a                                             b         

        

ii) Cerrado por la izquierda.

[a, b) = {x Є R/ a ≤ x < b}

   [////////////////////// )           X Є [a, b)

   a                                              b  

               

iii) Conjunto de todos los números reales abiertos.

(x > a) positivos.

(a , +∞) = {x Є R/ x > a}

(/////////////////////////////                   a                                                         ∞+     

              

iv) Conjunto de todos los números reales cerrado.

(x ≥ a ] positivos.

 [a , +∞) = {x Є R/ x ≥ a}

   [///////////////////////////////               a                                                               ∞+       

     

2.- Abierto: Esta abierto por los números reales x comprendidos entre a y b, excluidos a y b. Se expresa a < x < b.

(a, b) = {x Є R/ a < x < b} (////////////////////////////)

a                                                          b  

             

i) Abierto por la izquierda.

S = {x Є R/ a < x ≤ b}

        (//////////////////////////////// ]

        a                                                                     b  

    

ii) Abierto por la derecha.

S = {x Є R/ a ≤ x < b}

        [/////////////////////////////////

        a                                                                    b  

   

iii) Conjuntos de números reales x > a negativos.

(-∞, a) = {x Є R/  x < a}

   //////////////////////////////)                   

  - ∞                                                             a                                                                                      

iv) Conjunto de todos los números reales x ≥ a negativos.

(-∞, a] = {x Є R/  x ≤ a}

  ////////////////////////////////]           

    -  ∞                                                             a                                                    

v) Al infinito.

(-∞,∞+) = {x Є R/  a < b}

   /////////////////////////////////            - ∞                                                        ∞+