Tema N° 1: Probabilidades de Variable Aleatoria

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS, DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.

Introducción

La estadística moderna nos brinda una de las herramientas más importantes para entender las distribuciones de probabilidades, como los son las variaciones aleatorias discretas y continuas para resumir gráficas y numéricamente los datos varían o cambian dependiendo del resultado particular del experimento con que se mida. Asumiendo que la estadística va mas allá en comprender la obtención de conclusiones sobre la población a partir de los datos obtenidos de la muestra.

En particular será necesario modernizar las variables de interés X como variables aleatorias discretas como continuas, considerando el espacio muestral donde se encuentra definida una variable aleatoria asociados a los sucesos como experimentos en una probabilidad de eventos con un número real bien sean finito e infinito con cada elemento del espacio muestral.   

Variable Aleatoria (Definición):

Una variable x es variable aleatoria si el valor que toma, correspondiente al resultado de un experimento, es una probabilidad o evento aleatorio. 

Se pueden considerar numerosos ejemplos de variable aleatoria:

1.-  Numero de defectos en una pieza de muebles seleccionada al azar.

2.-  Calificación de un examen.

3.-  Números de llamadas telefónicas.

Además, el espacio muestral donde se encuentra definida la función probabilística se asocia a los números reales con cada elemento del espacio muestral.

Espacio Muestral (Definición):

       Sea un espacio muestral sobre el que se encuentra definida una función de probabilidad. Sea x una función de valor real definida sobre S, de manera que transforme los resultados de S en puntos sobre la recta de los reales. Se dice entonces que x es una variable aleatoria. 

       Se dice que x es aleatoria porque involucra la probabilidad de los resultados del espacio muestral, y x es una función definida sobre el espacio muestral, de manera que transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en cantidades numéricas.

Variables Discretas (Definición):

       Se dice que una variable aleatoria x es discreta si el número de valores que puede tomar es contable (ya sea finito o infinito), y si estos pueden arreglarse en una secuencia que corresponde con los enteros positivos.

       Entonces, la distribución de probabilidad, se refiere a la colección de valores de la variable aleatoria y a la distribución de probabilidad entre estos.

Sea x una variable aleatoria discreta cuando a P(x)= P(X=x) función de probabilidad de la variable x, satisface las siguientes propiedades:

1.- P(x) ≥ 0, para todo los valores x de x.

2.- ∑_x P(x) = 1

3.- 0 ≤ P(x) ≤ 1

La función de distribución acumulativa de la variable aleatoria x es la probabilidad de que x sea menor o igual a un valor especifico de x y está dada por:

4.- f(x) = P (X≤x) = ∑_x1<x P (xi) para todo

 -∞ < x < ∞+

Ejemplo: Realiza la correspondencia del lanzamiento de un par de dados y de la variable aleatoria discreta, las cuales representa la suma de las caras.
 Espacio muestral:

Solución: 

Variables Continuas (Definición):

Se dice que una variable aleatoria x es continua cuando toma muchos valores específicos dentro de un intervalos de números reales, entonces, la probabilidad asociada a cada valor es prácticamente nula (la función de distribución es continua).  La distribución de probabilidad está caracterizada por una función f(x) que recibe el nombre de función de densidad de probabilidad. 

La función f(x) es la función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua x, definida en el conjunto de números reales R, si:

 

1. - f(x) ≥ 0, para todo X€R -∞ < x < ∞+

2. - ∫_-∞^∞ f(x) dx = 1

3. – P (a ≤ x ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx  

Una función de densidad de probabilidad se constituye de modo que el área bajo la curva limitada por el eje x sea igual a (l) cuando se calcula en el rango de x para el que se define f(x) si este rango de x es un intervalo finito, siempre es posible extender el intervalo para incluir a todo el conjunto de números reales al definir f(x) como cero (o) en todo los puntos de las partes extendidas del intervalo. 

Ejemplo: Suponga que el error en la temperatura de rección en cadena, para un experimento nuclear de laboratorio controlado sea un variable aleatoria continua x que tiene la función de densidad de probabilidad.  

Encuentre: 
a.- Verifique la condición de la variable aleatoria desde su definición. 

b.- Encuentre: P(0 < x < 1)

 Como consecuencia inmediata a la definición se puede escribir los dos resultados, como:
1.- P(a<x<b) = F(b) - F(a),  y
2.- f(x) = df(x)/ dx