Tema N° 2: Esperanza y Varianzas

Características de las Variables Aleatorias Discretas y Continuas.

Introducción

Se han estudiado las variables estadísticas, que representaban el conjunto de resultados observados al realizar un experimento aleatorio, presentando para cada valor su frecuencia, esto es, el número de veces que sucede cada resultado. Sin embargo, antes de realizar un experimento aleatorio no se puede predecir con exactitud qué resultados se van a observar, sino que, como mucho, se puede describir cuales van a ser los resultados posibles y con qué probabilidad puede ocurrir cada uno de ellos. En muchas ocasiones, nos interesa más que el resultado completo del experimento, una función real de los resultados.

Esperanza Matemática para una Variable Aleatoria Discreta: 

La Esperanza Matemática (EX) es la suma de la probabilidad  de cada posible suceso multiplicado por la frecuencia de dicho proceso, es decir, si tenemos una variable cuantitativa discreta X con n valores de posibles sucesos como: X₁, X₂, X_3,….,X_n y la probabilidad P(X=xi) = Pi entonces, la esperanza matemática es: 

 Tomaremos un pequeño ejemplo para mostrar la Esperanza Matematica de un Variable Aleatoria discreta, tal como: 

 Esperanza Matemática para una Variable Aleatoria Contínua:

Dada una variable aleatoria absolutamente continua X con función de densidad f(x), se define la esperanza matemática de X como el valor y supuniendo que exista, sera:

Con las siguientes propiedades:

 Tomaremos un pequeño ejemplo para mostrar la Esperanza Matematica de un Variable Aleatoria Contínuas, tal como: 

Varianza y Desviación Típica para una Variable Aleatoria Discreta: 

La media por sí sola no proporciona una adecuada descripción de la distribución de la variable aleatoria. Además de conocer en qué valor se centra esa distribución es importante determinar la dispersión o variación de los valores de la variable aleatoria en torno a la media. Para ello se define la varianza, representada por ∂² o Var(X), de una variable aleatoria discreta X como: 

Es, por tanto, el promedio teórico de las desviaciones cuadráticas de los diferentes valores que puede tomar la variable respecto de su valor medio teórico o esperanza.

En el caso de las variables discretas, la expresión se convierte en:

Mientras que para las variables continuas tenemos: