Tema Nº 3: Desigualdades

 
DESIGUALDADES

Desigualdad (Definición): Son todas aquellas desigualdades o inecuaciones donde poseen valores variables (incógnitas) que necesitamos determinar.

Desigualdad de primer (1er) grado: Son las inecuaciones del tipo ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0, a ≠ 0. Estas inecuaciones también se conocen con el nombre de “Inecuaciones Lineales”.

Desigualdad de segundo (2do) grado: Son las inecuaciones del tipo ax²+bx+c ≤ 0, ax²+bx+c ≥ 0 y las análogas de los signos (<, >) donde a≠0. Estas inecuaciones también se conocen como “Inecuaciones cuadráticas”. 

Nota: En la resolución de una inecuación cuadrática se definen las raíces de la ecuación ax²+bx+c ≤ 0, ax²+bx+c ≥ 0  deben ser reales, se definen las raíces del polinomio como: p(x) = a (x - x₁)(x – x₂) también consideramos los intervalos dependiendo el signo si es abierto o cerrado, como: (-oo, x1), (x1, x2), (x2, oo+).

Desigualdad con valor absoluto: Son las inecuaciones del tipo |ax+b|≤0, |ax+b|≥0 y las análogas con los signos (<, >) donde a, b, c € R a≠0.

Desigualdad de 1er grado.

Ejemplo 1:  3 – (x – 6) ≤ 4x – 5 

Explicación del Profesor:

3 – (x – 6) ≤ 4x – 5   Se multiplican los signo y se eliminan los paréntesis.

3 – x + 6 ≤ 4x – 5      Se despejan las x y los números.

-4x – x ≤ - 9 – 5   Se suman o restan según sea el caso.

(-1) – 5x ≤ - 14 (-1) Se multiplican por -1 ambos miembros de la ecuación.

5x ≥ 14                           Se voltea el signo.

X ≥ 14/5               Se obtiene el resultado y se gráfica.

                                       [////////////////////

-oo                 0             14/5                       oo +

Sol: [ 14/5, oo +) 

Ejemplo 2:  ((x - 6)/ 3) – x – 6 ≤ (x / 15)

Explicación del Profesor: 

((x + 6)/ 3) – x – 6 ≤ (x / 15)   Se coloca la ecuación
(x + 6)/3 – (x – 6)/1 ≤ x/15    Se completa con 1 y se saca el m.c.m.

m.c.m. = 15

(x + 6)/3 – (x – 6)/1 – x/15 ≤ 0   Se iguala a cero a ecuación

(5 (x + 6 ) – 15 (x – 6) – x )15 ≤  0   Se realiza la distributiva y se suma o resta

(5x + 30 – 15x + 90 – x)/15 ≤ 0 Se suma o resta según sea el caso 

(5x – 15x – x + 30 + 90)/15 ≤  0  Se ordena la ecuación

-11x + 120 ≤  0                    Se despeja
       15

-11x + 120 ≤ 0 * 15    Se multiplica ambos miembros por (-1)

(-1) -11x + 120 ≤ 0

11x – 120 ≥ 0   11x ≥ 120

x ≥ 120
       11

                                       [//////////////////////

-oo                 0             120/11               oo +

Sol: [120 / 11, oo +)

Desigualdad de 2do grado y Método gráfico:

1.- Factorizar el polinomio.

2.- Ubicar las raíces reales sobre una recta.

3.- Determinar el signo de cada binomio en los distintos intervalos que se originan para ello se le asignarán a la variable un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo que se está analizando.

4.- Determinar que signo le corresponde al producto de los binomios en cada intervalo estudiado.

5.- Seleccionar los intervalos para los cuales la desigualdad. El conjunto solución es la unión de los mismos.