Tema Nº 3: Concavidad y Puntos de Inflexión

Concavidad

Definición: Una función f es cóncava en un intervalo de su dominio cuando: dados dos puntos cualquiera de dicho intervalo x₁ y x₂, el segmento que une los puntos (x₁, f(x₁)) y (x₂, f(x₂)) siempre queda por debajo de la gráfica. 

Para calcular los intervalos de concavidad de una función seguiremos los siguientes pasos:

1.- Hallamos la 2da derivada y calculamos sus raíces.

2.- Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

3.- Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la 2da derivada.

Si f´´(x) < 0   entonces, es cóncava.

Si f´´(x) > 0   entonces, es convexa.

4.- Escribir los intervalos. 

Explicación del Profesor:

La 2da derivada también aporta información sobre la gráfica, ello dirá cuando la gráfica se curva hacia abajo y cuando hacia arriba. 

Definición para una función diferenciable: Sea f derivable en un intervalo abierto I. Se dice que:

a)             Una función f es cóncava hacia abajo en I, si f´ es decreciente en ese intervalo.

b)            Una función f es cóncava hacia arriba en I, si f´ es creciente en ese intervalo.

Criterios: Sea f dos veces derivable en un intervalo abierto I. Se dice que:

a)             Si f´´(x) < 0 para todo x en ese intervalo entonces f  es cóncava hacia abajo.

b)            Si f´´(x) > 0 para todo x en ese intervalo entonces f  es cóncava hacia arriba.

Ejercicio: Determinar la concavidad de la siguiente función: f(x) = x⁴ – 4x³

Procedimientos:

1.- Derivamos dos (2) veces la función que el ejercicio nos da.

f(x) = x⁴ – 4x³

 f´(x) = 4x³ – 12x²

f´´(x) = 12x² – 24x

2.- Hagamos f´´(x) = 0  Donde: realizamos Factor Común, a:

f´´(x) = 12x² – 24x = 0

3.-  Despejar “x” de cada factor:

3.1.- 12x = 0 entonces, x= 0/12= x=0.

3.2.- (x-2) = 0 entonces, x=2.

4.- Los Intervalos que se van a estudiar son:

5.- Graficamos los puntos  

f´(x) = 4x³ – 12x²

6.- Estudios de los signos de la función.

7.- En Consecuencia la función es Cóncava hacia:   

Arriba: (-∞, 0) U (+2, ∞+)

Abajo: (0, 2)

Puntos de Inflexión

Definición: Un punto (x₀, f(x₀)) de la gráfica de la función f se llama punto de inflexión, si f es continua y cambia de concavidad de dicho punto. 

Si f´´= 0

Si f´´≠ 0

Los puntos donde f´´(x)= 0. La segunda derivada no está definida. 

Criterios de la 2da Derivada: Sea f dos veces derivable en un intervalo abierto I. Se dice que:

a)             Si f´´(c) < 0 entonces, f tiene un máximo relativo en (c, f(c)).

b)            Si f´´(c) > 0 entonces, f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).

c)              Si f´´(c) = 0 entonces, el criterio falla.

Ejercicio: Encontrar los extremos relativos correspondientes a la siguiente función: 

f(x)= -3x⁵ + 5x³

Procedimientos:

1.- Derivamos dos (2) veces la función que el ejercicio nos da.

f(x) = -3x⁵ + 5x³

 f´(x) = -15x⁴ – 15x² 

Tomando ésta función: f´(x) = -15x⁴ – 15x² 

1.- La igualamos a cero. f´(x) = -15x⁴ – 15x² = 0

2.- Su factor común es: f´(x) = -15x² (x²-1) = 0

3.- Tomamos a: f´(x) = -15x²=0 entonces, x²=0/15 es igual a: x=0.

4.- Tomamos a: (x²-1) = 0 entonces, x²= 0 + 1

x²= 1 es igual a: x=1.

5.- Ahora bien calculamos: f´´(x) = -60x³ – 30x

6.- Estudios de los puntos de Inflexión.

 

7.- En Consecuencia la función tiene un:   

mínimo Relativo en: (-1, -2)

Máximo Relativo: (1, 2)

Ejercicios Propuestos:

1.- y= x⁴ - 2x²

2.- y= x² –x – 6

3.- y= x⁴ – 2x³ + 3x² – 4x – 5

4.- y= -x³ -3x + 4

5.- y= (1 – x²)

6.- y= 1 +6x² – x³

7.- y= x -5 +x²

8.- y= x³ + 2x² – 5x + 3