Tema Nº 1: Puntos Crítivos, Máximos y Mínimos

Valores extremos de funciones 

Teoría de Max y Min: En una función  f  que es continua en todo los puntos de un intervalo cerrado tiene un máximo y un mínimo absoluto relativo en el intervalo. 

Teorema: Si f es continua en todos los puntos de un valor máximo absoluto (M) y un valor mínimo absoluto (m) en los puntos del intervalo I, es decir, existen números X₁ y X₂  en I con f (X₁) siendo igual a (m) y f (X₂) siendo igual a (M). 

Explicación del Profesor:  

Es importante destacar en este tema de aplicación que los puntos estacionarios son puntos críticos, sin embargo en relación a los puntos de inflexión no lo son. En cálculo, un punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0.1 2 El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas diferenciables entre variedades diferenciables. 

Un punto crítico de una función de una sola variable real, ƒ(x), es un valor x₀ dentro del dominio de ƒ donde la función no es diferenciable, o bien, su derivada es 0, ƒ′(x₀) = 0. Cualquier valor en el dominio de ƒ que sea la imagen de un punto crítico bajo ƒ es un valor crítico de ƒ.  Estos conceptos pueden ser visualizados por medio de la gráfica de ƒ: en un punto crítico, la gráfica no admite una tangente, o bien, la tangente es una línea vertical u horizontal. En el último caso, la derivada es cero y el punto es llamado un punto estacionario de la función. 

Definiciones de extremos absolutos

Sea f(x) una función definida en un intervalo I, los valores máximo y mínimo de f en I (si los hay) se llaman extremos de la función.

Se distinguen dos clases:

1.- Un número f(c) es el (Valor) máximo absoluto de f en I. Si f(x) ≥ f(c) para todo x en el intervalo I. 

      

2.- Un número f(c) es el (Valor) mínimo absoluto de f en I. Si f(x) ≤ f(c) para todo x en el

intervalo I.

Explicación del Profesor:  

El máximo y el mínimo de una función en un intervalo son los valores extremos, o simplemente extremos, de la función en ese intervalo. El mínimo y el máximo de una función en un intervalo se llama también el mínimo absoluto y el máximo absoluto de la función en el intervalo. 

Teoría de la Primera Derivada para valores extremos locales:

Si f tiene un máximo o un mínimo local, es un punto inferior c de su dominio, y si f´ está definida en c, entonces: 
                                    f´(c) = 0 

Ejercicio N° 1: 


Hallar el máximo y el mínimo a la siguiente función x3 - 6x2 +  9x . 

Procedimientos: 

1.- Derivamos la primera vez la función que nos da el ejercicio, que es: x3 - 6x2 + 9x

   f(x) = (x3 - 6x2 + 9x)´ =  f´(x)= 3x2 - 12x + 9

2.- Igualar la primera derivada a cero para encontrar los valores críticos. 
  
3x2 - 12x + 9 = 0  (Lo Dividimos entre 3 toda la expresión)

     3.- Elegir un número menor y otro mayor a cada valor crítico. 

Explicación del Profesor: 


 Para ambos valores críticos vamos a elegir un punto menor y un punto mayor, tomando en consideración los valores que nos da la ecuación derivada. 

  4.- Evaluar la derivada de los números elegidos. 
 a) Para  x=1, podemos elegir un número mayor como: x=2  y  elegimos un número menor como:  x=0. 
Luego, x=2 lo sustituimos en la 1era derivada, tenemos: 

f´(x)= 3x2 - 12x + 9 = 

f´(2)= 3(2)2 - 12(2) + 9 = 

f´(2)= 12 - 24 + 9 = -3



Luego, Para x=0 los sustitimos este punto en la primera derivada. 

f´(x)= 3x2 + 12x + 9 = 

f´(0)= 3(0)2 + 12(0) + 9 = 

f´(0)= 0 - 0 +9= 9


b) Para  x=3, podemos elegir un número mayor como: x=4  y  elegimos un número menor como:  x=2. 

Luego, x=4 lo sustituimos en la 1era derivada, tenemos: 

f´(x)= 3x2 - 12x + 9 = 

f´(4)= 3(4)2 - 12(4) + 9 = 

f´(4)= 48 - 48 + 9 = +9



Luego, Para x=2 los sustitimos este punto en la primera derivada. 

f´(x)= 3x2 + 12x + 9 = 

f´(2)= 3(2)2 + 12(2) + 9 = 

f´(2)= 12 - 24 +9= -3

5.- Aplicar el criterio de la primera derivada. 
Caso 1: Si f´(x) pasa de - a + por el valor crítico es un mínimo. 

Explicación del Profesor: 

Cuando tenemos el valor crítico x=3 como pasa de positivo (9) a negativo (-3) al pasar por ese punto, por lo tanto tenemos un mínimo.


Caso 2: Si f´(x) pasa de + a - por el valor crítico es un máximo. 

Explicación del Profesor: 

Cuando tenemos el valor crítico x=1 como pasa de positivo (-3) a negativo (9) al pasar por ese punto, por lo tanto tenemos un máximo.

Resumen: En x=1 existe un máximo y en x=3 existe un mínimo. 

6.- Encontrar las coordenadas del punto máximo y mínimo. 

a) Para x=1 máximo, evaluamos este punto en la ecuación original. 

  f(x) = x3 - 6x2 + 9x

   f(1) = (1)3 - 6(1)2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = +4

Entonces, las coodenadas donde se encuentra el máximo es: (1,4)

b) Para x=3 máximo, evaluamos este punto en la ecuación original.

f(x) = x3 - 6x2 + 9x

f(3) = (3)3 - 6(3)2 + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 0

Entonces, las coodenadas donde se encuentra el mínimo es: (3,0)

6.- Graficamos ese máximo (1,4) y ese mínimo (3,0).