Tema Nº 4: Funciones

FUNCIONES 

Funciones (Definición): Es la correspondencia que asigna un numero x (-x, un único valor y perteneciente al punto y (y (-y)). Esa correspondencia se simboliza con la letra F. También se le llama aplicación. 

También es un conjunto de pares ordenados de números (x, y) en los que no existen dos pares ordenados diferentes con el mismo primer número. El conjunto de todos los valores admisibles de x se denomina dominio de la función, y el conjunto de todos los valores resultantes de y recibe el nombre de rango (contradominio) de la función. 

Ejemplo:

Funciones y sus Definiciones

Constante numéricas o absolutas: Son valores que conservan los mismos números en todos los problemas, como por ejemplo: A=bh/2 o A=πr². En donde, π y 2 nunca cambian en la ecuación. 

Constantes arbitrarias o parámetros: Son aquellas a las que se le asignan un valor para cada problema. Se representa por las primeras letras del abecedario.

Variables: Es una cantidad a la que se le puede asignar durante el curso de un proceso de análisis un número ilimitado de valores. Se la representa por las letras del abecedario. 

Intervalo de una Variable: Se llama intervalo entre dos puntos a y b al conjunto de todos los números reales que cumplen las siguientes condiciones:

a≤x≤b, que también se anota [a,b] y se llama intervalo cerrado por que se incluyen los extremos.

a<x<b, que también se anotan (a,b) y se llama intervalo abierto porque se incluyen los extremos.

a≤x<b, se anotan [a,b) se incluye a y se excluye b.

a<x≤b, se anotan (a,b] se excluye a y se incluye b.

Estudio de la Función

1.- Se dice que y es función de x, cuando a cada valor de la variable x corresponde uno o más valores determinados y. 

2.- Como x es la variable que toma los valores arbitrarios, se llama variables independientes.

Características de una Función: Es el conjunto de operaciones que hay que efectuar cada valor de x para obtener el correspondiente de y. 

Cuando en un mismo problema hay varias funciones a cada una de ellas le corresponde una característica distinta. Por ejemplo: 

y=f(x), y=g(x), se anota y=2x²+5x-8.

En este caso f (característica) indica “Dos veces la variable x al cuadrado menos tres veces la variable x más uno”.

Y=2x+3 se anota y=f(x)

Clasificación de las funciones

Uniforme: Son aquellas en que a cada valor de x le corresponde solamente uno de y. 

Multiformes: Son aquellas en que a cada valor x le corresponde varios de y. 

Explícitos: Son aquellas en las que la y esta despejada. Ejemplo: y=2x+3.

Implícitos: Son aquellas en las que la y no está despejada. Ejemplo: 3x+2y-3=0.

Inversas: Dada una función cualquiera y=f(x), para hallar su inversa despejamos la x, y en la expresión que nos resulten cambiamos las letras. 

Tipo de funciones:

1.- Inyectiva: Es inyectiva cunado dos elementos distintos en el conjunto de partida tienen imagen diferente en el conjunto de llegada. 

2.- Sobreyectiva: Es cuando dos elemento del conjunto de llegada son el rango de la función. 

3.- Biyectiva: Es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

4.- Operaciones entre funciones:

f (x), g (x), h (x) Son funciones de la variable “X”.

1. - (F + g + h) (x) = F(x) + g(x) + h(x)   f suma.

2. - (F – g – h) (x) = F(x) – g(x) – h(x) f resta.

3. - (F – g) (x) = F(x) – g(x)   f Producto.

4. - (F/g) (x) = F (x) /G(x)       f   Cociente.

                                       

Ejemplo: Sean las funciones:

F(x) = x² - x           a) (f + g) (x)

G(x) = x² + x        b) (f – g) (x)

H(x) = x + 1          c) (f. g) (x)

a) f + g (x) = y² - x

(f + g)(x) = 2x² – x + 1  

b) f – h = x² -  x – (x + 1)

    f – h =  x² -  x – (x + 1)

    f – h = x² -  2x – 1

Función compuesta (Definición): Sean f y g dos funciones de x sea Df y Dg el dominio de f y g respectivamente se define la función compuesta denotada como: 

(f. g) (x)  en f compuesta y así:   (f . g) (x) =  f [g (x) ]

Ejemplo: sean: f(x) = x² – 1, g(x) = √x

Hallar: (f. g) (x), (g. f) (x)

Solución:

(f . g) (x) = f [g (x) ] = (√x)² + 1 = x + 1

Y = (g . f) (x) = g [f(x)]

(g . f)(x) = √x² – 1 =  √x² - √1 = x – 1

Función Par: Una función es par cuando sustituye x por -x pero la función no se altera, es decir, la función es simétrica respecto al eje “y”.

Ejemplo: Sean la función y = x³ + 2x² – x   Determine si es par la función.

f(x) = x³ + 2x² – x  

f(-x) = (– x)³ + 2 (-x)² – (– x) = –x³ – 2x² + x

Función Impar: Una función es impar cuando se cumple la relación siguiente f (x) = – f(x) Dada la función f (x) = 1/x, verificar si es impar.

Solución: f (x) = 1/x = –1/x    entonces,

f (– x) = – 1/x 

Nota: Una función impar es simétrica con el origen.

–f (x) =–1/x    entonces,  –1/x =  –1/x ??? 

Función constante: Es una expresión de forma y= k y la k es una constante real (k = R) la gráfica es la recta que se mantiene estable tanto en el x como en y, en todos los cuadrantes involucrados. Su Dominio es R± y depende de donde esté ubicada en la gráfica la constante, y el rango va desde (-∞, ∞+).

Ejemplo:

Función Identidad: Es una expresión de esta forma y = x y la gráfica es la recta que bisecta los cuadrantes primero y tercero. El Dominio y Rango de esta función son todos los números reales. 

Función Afín: Es una función de la forma

y = ax + b, donde esa recta se gráfica ubicando un valor en x para la obtención de y, así obtener los pares ordenados (x, y). Claro está, a va ser la pendiente y b va ser el punto de corte con el eje y. El Dominio y Rango de esta función son todos los números reales.  

Función valor absoluto: Es una función que tiene las características que y es igual a x, donde x si es ≥ 0 su Dominio es R±, y si es –x entonces, x si es < 0 su Rango es [0, ∞+).

Ejemplo:

Función Polinómica: Es como su nombre lo dice, funciones que constan de un polinomio. En donde n es un entero positivo, llamado, grado del polinomio. Resulta evidente, que el coeficiente del grado mayor, no puede ser cero, o sea, a tiene que ser diferente de cero, para que el grado del polinomio se n.

Es una expresión de la forma f(x) = a_nxⁿ+a_n-1 x^n-1 +……..+ a_x + a₀ + a_n, a_n-1 …… a₁, a_0. Constantes reales. n ∈ z+ Df(x). Rf(x) = R (Si no es especifica lo contrario). Entonces, y = {x} {x si ≥0, P1 = [0, ∞+)}. Donde   a₀, a₁ ... a_n-1, a_n   son números reales que se llaman coeficientes del polinomio  y  n es el grado del polinomio. La gráfica de las funciones Polinómicas depende del grado de la función. Las funciones Polinómicas de ciertos grados tienen algunas alternativas de gráfica. 

Función Potencial: Esta definición es para los números reales, entonces f: R- → R+. Es una función de la forma f(x) = axⁿ. Donde a es un número real, distinto de 0, y n es un número natural distinto de 1.

     Analizando la gráfica de esta función se presenta en los casos en que el exponente es un número entero, donde su gráfica dependerá si tiene un exponente par positivo, impar positivo, par negativo o impar negativo.

     Se demuestra de las propiedades de la potencia. Cuando:

                                   y= xⁿ, n ∈ z⁺.

Si n =1, y=x,

Si n=2, y=x²,

Si n=3, y=x³.

Propiedades de la Potencia:

1.    a^m . aⁿ = a^m+n

2.  a^m.b^{m =} (ab)^m

3.  a^m/a^{n =} a^m-n

4.  a^m/a^{n =} 1/a^n-m

5.  a^{-m =} 1/a^m

6. (a^m/bⁿ) = (a/b)ⁿ

                

Si el exponente es par el dominio de la función potencia son todos los números reales, el recorrido depende del signo de a:

  

       1.a < 0 la parábola está abierta hacia abajo es intercepto con y el recorrido son todos los reales negativos con el cero.

    2.a > 0 la parábola está abierta hacia arriba es unido con y el recorrido son todos los reales positivos con el cero.

 

Si el exponente es impar,              el dominio y recorrido de la función potencia son todos los números reales.

Función de trozo o pedazo: Es la función que es definida a trozos, es aquella cuya expresión analítica contiene más de una fórmula: para distintos valores de la variable independiente “x” se deben usar distintas fórmulas que permitan calcular la imagen “y" que les corresponde. 
                                     

Es imprescindible conocer qué formula usar con cada valor de “x”, por lo que cada una de las fórmulas se acompaña obligatoriamente de una condición que especifica su dominio de aplicación.

 Así, la expresión analítica general de una función definida a trozos tiene el siguiente aspecto:

F(x) = Formula 1  Si x Pertenece a Dominio 1

F(x) = Formula 2  Si x Pertenece a Dominio 2

F(x) =Formula 3 Si x Pertenece a Dominio 3, donde los dominios suelen aparecer como intervalos o puntos.

En la gráfica de una función definida a trozos se suelen distinguir claramente varias partes distintas, aunque pueden estar unidas.

Función Logaritmo: Esta función es definida de base “a” es un número real y positivo pero distinto de 1, La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.  El dominio de la función son los reales positivos puesto que no existe el logaritmo de un número negativo. Dom (f) = R +.  Además, Las funciones de la forma y = log a x cuando la base es mayor que la unidad (a > 1) tienen las siguientes características: (tomando como ejemplo la función f (x) = log 5 x).  Y la representamos por: 

x = log _a  y  a^x = y

     

El dominio de la función es el conjunto de todos los números reales positivos: (0, +∞) y su recorrido es el conjunto de todos los números reales.

Propiedades de Logaritmo

            La función log_a se deduce a su definición: (log_a y=x, si solo si, a^x = y)

1.   log_a a=1, ya que a¹ = a

2. log_a (xy)= log_a x + log_a y

3. log_a (x/y)= log_a x – log_a y

4. log_a yp= p log_a y ln₁=0

5. Si x, y, z son positivos: log_x y plog_y z=log_x z lne=1

Función exponencial: Se define como el número real positivo y de exponentes reales. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x. Y la representamos por:

x — a^x = f(x), a > 0

Definición: Se define por lo siguiente:

1.- Si x es natural, entonces: f(x) = a^x= a.a …. x veces a.

Ejemplo: a5 = a.a.a.a.a

2.- Si x es entero negativo, digamos que x= n, n ∈ N.  Entonces: f(x) = a^x= aⁿ = 1/aⁿ.  

Ejemplo: f(-3)= a^-3 = 1/a³     x=-3

3.- Si x es un número racional p/q, donde (p,q), son enteros y q≠0, entonces se sabes que:

F(x) = a ^p/q = ^q√a^p

Ejemplo: f(x)= a2/3 = ³√ a²

Propiedades de los exponentes

La función exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales. Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e).

1.     a^x . a^y = a^x+y

2.    (a^x)^y = a^x.y

3.    a^x/a^y = a^x-y

4.    (a.b)^{x =} a^{x .} b^x

5.   a⁰ = 1

6.   a¹ = a

Ejemplo: 

Función Cuadrática: Se define por expresarse en cuadrado (x²). Teniendo la forma:

y= ax²+bx+c  Dom: R±

      A partir de la función cuadrática y= ax²+bx+c   y el par ordenado (x₁, y₁), podemos determinar las ecuaciones que permiten el cálculo de las coordenadas del vértice de una parábola, procediendo de la siguiente manera:

1.- Transponemos a un miembro de la ecuación los términos de la x, y dividimos ambos miembros entre a. 

2.- Sumamos (b/2a)² a ambos miembros de la igualdad y factorizamos el primer miembro, que es un trinomio cuadrado perfecto.

3.- Extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad y resolvemos la expresión subradical.

4.- Despejamos x, recordando que para que x sea un número real, la expresión de la cantidad subradical debe ser mayor o igual que cero.

5.- Como a es un coeficiente real positivo o negativo (a≠0) consideramos primero el caso en el cual a > 0, despejando y de la inecuación.

6.- Para determinar el valor de x que le corresponde a y, sustituimos en la función y= ax²+bx+c la ecuación hallada en el paso anterior. Luego factorizamos y despejamos x.

7.- Cuando a< 0, el vértice de la parábola es un punto máximo y tiene las mismas coordenadas del punto mímico, por lo que se concluye que la coordenada del vértice de una parábola es:

V= (-b/2a, 4ac-b²/4a) Para   y= ax²+bx+c 

Abertura de la parábola

1.- Cuando abre hacia arriba

Si y= ax²+bx+c, entonces: se calculan los vértices como: x_v=-b/2a, y= 4ac – b²/4a. 

2.- Cuando abre hacia abajo

Si y= ax²+bx+c, entonces: se calculan los vértices como: x_v=-b/2a, y= 4ac – b²/4a. 

3.- Parábola hacia la izquierda

Si ay²+by+c=0, entonces: se calculan los vértices como: x_v=-b/2a, y= 4ac – b²/4a. 

4.- Parábola hacia la derecha

Si ay²+by+c=0, entonces: se calculan los vértices como: x_v=-b/2a, y= 4ac – b²/4a. 

Función con un mínimo en la parábola

Si una función pasa de ser decreciente a ser creciente, esta tiene un punto mínimo en el punto c.

Función Racional: Se define a través de los números racionales cuando y=P(x)/Q(x), P(x) y Q(x) son funciones de x.

Función Inversa: Sea ƒ una función ƒ: a →b, se define la inversa de f cómo ƒ^-1 y ƒ-1: b →a.

Propiedad de la función:

1.- Si ƒ es biyectiva ƒ ^-1 existe y es única.

2.- ƒ^-1.ƒ(x)= (ƒ.ƒ^-1)(x) = x.

Para hallar ƒ^-1 (y^-1) se realiza por lo siguiente:  

a.- Se cambia la  por la  y viceversa.

b.-Se despeja la  de esa prueba de expresión y luego le calculo el dominio que es el rango en la función original.

Función Entero mayor: Se define por establecer rangos entre distancia.

Función Cúbica: Es una función Polinómica de tercer grado. Tiene la forma: f(x) = ax³ + bx² + cx + d; donde el coeficiente a es distinto de 0. Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales. Se define por expresar un cubo (x³), teniendo la forma: y=x³.

Propiedades

1.   El dominio de la función es la recta real es decir (-α : α)

2. El recorrido de la función es decir la imagen es la recta real.

3. La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).

4. La función es continua en todo su dominio.

5. La función es siempre creciente.

6. La función no tiene asíntotas.

7. La función tiene un punto de corte con el eje Y.

8. La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X. 

Funciones trigonométricas: Las funciones trigonométricas se definen como los valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva de eje x. (Vargas et al 2006). 

Ejemplo: y=Senx, y=Cosx, y=Tanx.

Calculo de Dominio y Rango

Dominio Definición: Es el conjunto formado por los primeros componentes de los pares ordenados que forman la relación. El dominio es también un subconjunto del conjunto de partida.

Ejemplo: Dom: {1,2,3,4}.

Rango Definición: Es el conjunto formado por los segundos componentes de los pares ordenados que forman la relación. El rango es también un subconjunto del conjunto de llegada.

Ejemplo: Dom: {5,6,7,8}.

Condiciones de funciones que permiten calcular dominio y rango, procediendo de las siguientes restricciones:

1.- ƒ(x) No hay restricciones IR±

2.- ƒ(x)/h(x): h(x)≠0

3.-  ⁿ√f(x): f(x)≥0, n = número par

4.-  ^n-1√f(x): No hay restricción número impar IR±

5.-  √f(x)/h(x): f(x) ≥0; h(x)≠0

6.- h(x)/ √f(x):  f(x) >0

7.-   h(x)/ ^n-1√f(x): f(x) ≠0

8.- Ln f(x): f(x) >0

9.-  √lnf(x): f(x)≥0 o f(x)≥1  

10.-  ln ^n-1√lf(x): f(x) >0

11.-  ^n-1√f(x)/h(x): h(x)≠0